"Factorización de Trinomios que NO son Cuadrados Perfectos"
Por: María Fernanda Anaya Gallardo Grupo 104
Éste proceso se aplica para trinomios cuya forma es x² + bx + c, y el proceso consiste en descomponer la expresión como el producto de dos binomios, que tienen por factor común la raíz cuadrada del término cuadrático (primer término). Respecto a los términos que faltan, se debe calcular un par de números que sumados alebraicamente den como resultado el coeficiente de "b" y multiplicados resulten el coeficiente de "c".
Veamos un ejemplo por medio de Factorización:
x² + 7x +12
- Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12:
4 x 3 = 12
4 + 3 = 7
- Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática:
(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x:
x = - 4
x = - 3
- Cabe recalcar que la factorización solo se puede usar cuando la solución del Trinomio sean valores Reales en caso contrario, cuando sean imaginarios, se tendrá que utilizar la Fórmula General:
x= - b ± √(b² - 4ac)
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2a
A continucación, se deja un vídeo en el cual se aplica todo el proceso antes mencionado con la ayuda de otros ejemplos:
En este método es necesario despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, e igualar el resultado de ésta misma en ambos despejes, obteniendo una ecuación de primer grado, facilitando el proceso de resolución. En múltiples ocasiones nos daremos cuenta de que es más fácil emplear las variables cuyos coeficientes resulten más pequeños.
En este proceso las fases a realizar son las siguientes:
1.- Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2.- Igualamos las expresiones obtenidas y posteriormente se resuelve la ecuación lineal, la cuál sólo tiene una incógnita.
3.- Calculamos en valor de la segunda incógnita, sustituyendo lo que encontramos en un principio.
A continuación resolveremos un ejercicio mediante el método de igualación.
Entre Mayra y Juan tienen 600 canicas, Juan tiene el doble de canicas que Mayra, ¿cuántas canicas tiene cada quién?
En primer lugar nombramos el número de canicas de Mayra como x y el de Juan como y.
Si entre los 2 poseen 600 canicas, podemos obtener la siguiente ecuación: x+y=600, como podemos observar en el planteamiento del problema, Juan tiene el doble de canicas que Mayra, por lo tanto y=2x.
Éstas ecuaciones juntas nos dan como resultado el siguiente sistema:
Ahora pasamos a resolverlo por el método de igualación. Ya que en la segunda ecuación sólo se presenta una incógnita (y), procedemos a despejarla en la otra ecuación.
Con esto, podemos ver que x es igual a 200.
Ahora sustituimos a x por el valor ya encontrado anteriormente en una de las ecuaciones donde y se encontraba ya despejada, con lo que tenemos que:
Entonces, nos damos cuenta de que Mayra posee 200 canicas y Juan 400.
Aquí dejo un vídeo el cual vuelve a explicar este proceso con otro ejemplo:
De la factorización de trinomios, el de cuadrados perfectos es uno de los más fáciles ya que solo hay que entender el concepto de la raíz cuadrada perfecta, que no es otra cosa que buscar el número que multiplicado por el mismo nos de el valor que se busca.
Antes de aplicar este método de factorización se debe determinar si el primer y tercer término del trinomio son cuadrados perfectos, en el caso de las incógnitas o letras, solo es ver si su exponente es par, quiere decir que la raíz cuadrada de x4 = x2, de m6n2 = m3n y así sucesivamente.
Ejemplo:
x2+ 6x + 9
*PASO I: Obtener la raíz del primer término (x2), abrir un paréntesis y poner la respuesta. (para obtener la raíz cuadrada de cualquier literal, simplemente se divide el exponente entre 2).
√x2= (x
*PASO II: Identificar el signo de segundo término (+ 6x) y escribirlo enseguida.
(x +
*PASO III: Obtener la raíz cuadrada del tercer término (+ 9), escribelo después del signo y cerrar el paréntesis
√+ 9= 3
(x + 3)
PASO IV: Elevar al cuadrado la respuesta.
(x + 3)2
Si se quiere comprobar que la respuesta es correcta, simplemente se multiplica el binomio por el mismo.
(x + 3) (x + 3)=
(x(x+3)) + (3(x+3))=
(x2+3x) + (3x+9)=
x2+6x+9
Ejemplo II:
x4+ 4x2y + 4y2
PASO I: Obtener la raíz cuadrada del primer término (x4).
√x4= x2
(x2
PASO II: Escribir el signo del segundo término (+ 4x2y).
(x2+
PASO III: Obtener la raíz cuadrada del tercer término y escribir las respuestas dentro de un paréntesis (+ 4y2).
Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución.
El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. En esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, si no es así se trata de acomodar para que así lo sea. Luego, restando o sumando miembro a miembro las ecuaciones, se obtiene una ecuación con una incógnita menos , esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas, de allí el nombre de reducción
o eliminación.
Los pasos a seguir son:
1.- Preparamos ambas ecuaciones, multiplicando (dividiendo) por una constante (número) adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente, salvo signo que puede ser positivo (o negativo), en ambas ecuaciones.
2.- Restamos (o sumamos), según signo del coeficiente, miembro a miembro ambas ecuaciones y con ello desaparece una incógnita, así reducimos el número de ecuaciones, en nuestro caso a una ecuación.
3.- Resolvemos la ecuación obtenida.
4.- Luego a este resultado lo llevamos a cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener la otra incógnita (o podemos emplear la misma técnica para despejar la otra incógnita).
5.- Verificar la solución obtenida, en ambas ecuaciones.
Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso
primero se omite. EJEMPLO:
1. Resolver el sistema
(1) 4x + 6y = -3
(2) 5x + 7y = -2
Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.
